Sumber Makalah - Aljabar Linear Elementer “Howard Anton”

5.4  MATRIKS TRANSFORMASI LINEAR

Pada bagian ini kita memperhatikan bahwa jika V dan W adalah ruang vektor berdimensi berhingga (tidak perlu Rⁿ dan R^m) maka dengan sedikit kelihaian sebarang transformasi linear T:V  W dapat ditinjau sebagai transformasi matriks. Gagasan dasarnya adalah memilih basis untuk V dan W yang bekerja dengan matriks koordinat vektor terhadap basis ini dan bukan bekerja dengan vektor itu sendiri.

Misalkan bahwa V adalah ruang vektor berdimensi n dan W adalah ruang vektor berdimensi m. Jika kita memilih basis B untuk V dan basis B’ untuk W, maka untuk masing-masing x di V,matriks koordinat [x]_B akan merupakan vektor di Rⁿ sedangkan matriks koordinat [T(x)]_B’ akan merupakan vektor di R^m. Jadi, proses pemetaan x ke dalam T(x), transformasi linear T “menghasilkan” sebuah pemetaan dari Rⁿ ke R^m dengan menempatkan [x]_B ke [T(x)]_B’. Kita dapat memperlihatkan bahwa pemetaan yang dihasilkan ini selalu merupan transformasi linear. Dengan demikian pemetaan tersebut dapat dilaksanakan dengan menggunakan matriks A baku untuk transformasi tersebut, yakni:

                                               A[x]_B = [T(x)]_B’                                          (5.16)

Untuk mencari matriks A yang memenuhi persamaan ini, misalkanlah V adalah ruang berdimensi n dengan basis B = {u₁, u₂, ..., u_n}, dan W adalah ruang berdimensi m dengan basis B’ = {v₁, v₂, ..., v_m}. Selanjutnya, kita akan mencari matriks m × n dengan

A =

sehingga (5.16) memenuhi untuk semua vektor x di V. Khususnya, kita ingin agar persamaan ini dapat memenuhi vektor basis u₁, u₂, ..., u_n, yakni

A[u₁]_B = [ _B’  ,   A[u₂]_B = [ _B’    , ..... ,   A[u_n]_B = [ _B’             (5.17)

Tetapi

             [u₁]_B =    ,   [u₂]_B =    ,   ...   ,   [u_n]_B =    

sehingga

                A[u₁]_B =  =  

                A[u₂]_B =  =  

                   .

                   .

                   .

  

                A[u_n]_B =  =

Dengan menyulihkan hasil ini ke dalam (5.17) menghasilkan

= [ _B’   ,      = [ _B’    , ... ,      = [ _B’

yang menunjukkan bahwa kolom A yang berurutan merupakan matriks koordinat dari

       T(u₁), T(u₂), ..., T(u_n)

yang bertalian dengan basis B’. Dengan melanjutkan cara ini kita peroleh matriks unik A yang kita namakan matriks untuk T yang bertalian dengan basis B dan B’. Secara simbolis kita dapat menyatakan matriks ini dengan

A =  =   [ _B’| [ _B’|  | [ _B’

Matriks A tersebut pada umumnya dinyatakan dengan simbol [ T ]_{B, B’}

[ T ] B, B’ = =  [ B’| [ B’|  | [ B’           (5.18a)

sehingga dengan demikian rumus yang baru saja kita peroleh dapat juga kita tuliskan sebagai

di mana B = {u₁, u₂, ..., u_n}.

            Dalam kasus khusus di mana V = W (sehingga dengan demikian T : V W adalah operator linear x) biasanya untuk mengambil B = B’ apabila kita membentuk matriks untuk T. Jika hal ini dilakukan, maka matriks yang dihasilkan kita namakan matriks untuk T yang bertalian dengan basis B. Untuk menyederhanakannya, kita akan menulis

[ T ]_B

dan bukan [ T ]_{B, B’}. Jadi, untuk operator linear T, kita peroleh

[ T ] B = =  [ B | [ B |  | [ B                  (5.18b)

 

di mana B = {u₁, u₂, ..., u_n}.

Contoh 1:

Misalkan T : P₁  P₂ adalah transformasi linear yang didefinisikan oleh

T (p(x)) = xp(x). Carilah matriks untuk T yang bertalian dengan basis

B = {u₁, u₂} dan B’ = {v₁, v₂, v₃} 

di mana u₁ = 1, u₂ = x   ;   v₁ = 1, v₂ = x, v₃ = x²

Penyelesaian:

Dari rumus T kita peroleh       T(u₁) = T(1) = (x)(1) = x

                                               T(u₂) = T(x) = (x)(x) = x²

Dengan pemeriksaan, kita dapat menentukan matriks koordinat untuk T(u₁) dan T(u₂) relatif terhadap B’, yakni

[T(u₁)]_B’ = ,    [T(u₂)]_B’ =

Jadi, matriks untuk T yang bertalian dengan basis B dan B’, adalah

[ T ]_{B, B’} =   [ _B’ | [ _B’   =

Contoh 2:

Jika B = {u₁, u₂, ..., u_n} adalah sebarang basis untuk ruang vektor V berdimensi berhingga dan I : V  V adalah operator identitas pada V, maka I(u₁) = u₁, I(u₂) = u₂, ..., I(u_n) = u_n. Maka

[I(u₁)]_B =  ,   [I(u₂)]_B = , ... ,   [I(u_n)]_B =

Jadi,

[I]_B =  = I_n

Akibatnya, matriks operator identitas yang bertalian dengan sebarang basis adalah matriks identitas n × n.

Contoh 3:

Jika T : Rⁿ  R^m adalah transformasi linear r dan jika B dan B’ merupakan basis baku untuk Rⁿ dan R^m maka matriks untuk T yang bertalian dengan B dan B’ adalah matriks baku untuk T yang telah di bahas sebelumnya.

Contoh 4:

Misalkan T : R²  R² adalah operator linear yang didefinisikan oleh

T

Carilah matriks untuk T yang bertalian dengan basis B = {u₁, u₂} di mana

(a)    u₁ =  ,  u₂ =   (basis baku)

(b)   u₁ =  ,  u₂ =

Penyelesaian:

(a)      Karena B adalah basis baku untuk R², berikutnya dari contoh 3 bahwa [T]_B adalah matriks baku untuk T. Tetapi

T(u₁) =    dan   T(u₂) =   

sehingga

[ T ]_B =  = [T(u₁) | T(u₂)] =

Karena B adalah basis baku untuk R², berikutnya bahwa T(u₁) = [T(u₁)]_B dan T(u₂) = [T(u₂)]_B, sehingga dengan demikian matriks yang sama akan menghasilkan jika menggunakan rumus (5.18b).

(b)     Dari definisi T

         T(u₁) =  = 2u₁   dan   T(u₂) =  = 3u₂

Maka

                 [T(u₁)]_B =      dan     [T(u₂)]_B =

        Akibatnya

                 [ T ]_B =   [ _B | [ _B   =   

Pernyataan:

Amatilah bahwa basis pada bagian (b) dari contoh terakhir menghasilkan matriks tersederhana untuk T dibandingkan dengan basis baku pada bagian (a). Sebagaimana akan kita lihat nanti, satu masalah yang paling penting dalam aljabar linear adalah mencari basis untuk ruang vektor yang menghasilkan “penyederhanaan” yang memungkinkan matriks untuk operator linear diberikan pada ruang tersebut.

Contoh 5:

Misalkan T :  R²  R³ merupakan transformasi linear yang diberikan oleh

  T

Carilah matriks untuk T yang bertalian dengan basis B = {u₁, u₂} untuk R² dan B’ = {v₁, v₂, v₃} untuk R³, di mana

u₁ =  ,  u₂ =  ,  v₁ =

Penyelesaian:

Dari rumus untuk T,

T (u₁) =     ,    T (u₂) =

Dengan menyatakan vektor-vektor ini sebagai kombinasi linear dari v₁, v₂, dan v₃ kita peroleh (Buktikan):

T(u₁) =        ,       T(u₂) = 3          

Jadi,

[T(u₁)]_B’ =    ,   [T(u₂)]_B’ =   

Sehingga

[ T ]_{B, B’} =   [ _B’ | [ _B’   =  

       Jika T :  V  W adalah transformasi linear, maka dengan notasi (5.18a), rumus (5.16) dapat kita tulis sebagai

[ T ]B, B’ [x]B = [T(x)]B’

(5.19a)

                                                                                                              

dan jika T :  V  V adalah operator linear, maka dari (5.18b) dan (5.16)

[ T ]B [x]B = [T(x)]B

(5.19b)

 

Dengan menggunakan frase informal, rumus ini menetapkan bahwa matriks T kali matriks koordinat x adalah matriks koordinat untuk T(x).

       Jika T adalah transformasi linear, maka sebagaimana ditunjukkan dalam Gambar 1, matriks [ T ]_{B, B’} dapat digunakan untuk menghitung T(x) dalam tiga tahap dengan menggunakan prosedur taklangsung berikut:

(a)      Hitunglah matriks koordinat [x]_B’

(b)     Kalikanlah [x]_B pada bagian kiri dengan [ T ]_{B, B’} untuk menghasilkan [T(x)]_B’.

(c)      Bentuklah kembali T(x) dari matriks koordinatnya [T(x)]_B’.

                                    

                                   Perhitungan

                         x          langsung            T(x)                        

                                  

         (1)                                          (3)

                                 Perkalian dengan

                       [x]_B            [ T ]_{B, B’}            [T(x)]_B’

                                             (2)

                                       Gambar 1

Ada dua alasan utama mengapa prosedur taklangsung ini begitu penting, satu dan lain hal untuk alasan praktis dan teoretis:

1.        Prosedur ini memungkinkan untuk menghasilkan transformasi linear pada komputer dengan menggunakan perkalian matriks.

2.        Prosedur tersebut menunjukkan bahwa apabila kita mengerjakannya dengan vektor koordinat, maka semua transformasi linear pada ruang vektor berdimensi berhingga dapat direpresentasikan sebagai transformasi matriks. Jadi, jawaban mengenai pertanyaan teoretis terhadap transformasi linear yang umum pada ruang vektor berdimensi berhingga sering dapat dihasilkan hanya dengan menelaah transformasi matriks.

Contoh 6:

Misalkan T :  P₁  P₂ , B, dan B’ adalah basis dalam Contoh 1, dan misalkan

x = 1 - 2x

Gunakanlah matriks [ T ]_{B, B’} yang diperoleh dari Contoh 1 untuk menghitung T(x) menurut prosedur taklangsung pada Gambar 1.

Penyelesaian:

Menurut pemeriksaan, matriks koordinat dari x pada B adalah

[x]_B =  

sehingga, dari (5.19a), kita peroleh

[T(x)]_B = [ T ]_{B, B’}[x]_B =      =   

Jadi, T(x) = 0v₁ + 1v₂ - 2v₃ = 0(1) + 1(x) - 2(x²) =  x - 2x²

Contoh 7:

Misalkan T :  R²  R² adalah operator linear yang didefenisikan dengan

T =

dan B = {u₁, u₂} basis untuk R² dengan vektor

u₁ =   dan  u₂ =   

Gunakan prosedur taklangsung dalam Gambar 1 (dengan B’ = B dan [ T ]_{B, B’} ≠     [ T ]_B) untuk mencari T(x), dimana x =   

Penyelesaian:

Matriks koordinat untuk x yang bertalian dengan B adalah (Buktikan):

 [x]_B =   

Sehingga, dengan menggunakan rumus (5.19b) dan matriks [ T ]_B yang dicari dalam bagian (b) dari Contoh 4, kita peroleh

[T(x)]_B = [ T ]_B[x]_B =     =   

Jadi,

T(x) = 6  + 18  =

Anda diminta memeriksa hasil ini dengan menyulihkan x ke dalam rumus untuk T secara langsung.

Pernyataan:

Contoh terakhir sengaja diperluas sebagai suatu latihan agar lebih memahami konsep ini. Prosedur untuk menghitung T(x) tidak segampang yang dipikirkan. Sebaliknya, menghitung T(x) dengan prosedur langsung akan lebih gampang ketimbang menggunakan prosedur taklangsung.

5.5  KESURUPAN

matriks sebuah operator linear T : V → V bergantung pada basis yang dipilih untuk V. Satu masalah mendasar dari aljabar linear adalah perlunya memilih basis untuk V yang membuat matriks T sesederhama mungkin. Masalah ini sering ditangani dengan terlebih dahulu mencari dengan beberapa matriks  T  relatif terhadap basis “sederhana” seperti basis baku. Biasanya, pilihan ini tidak mnegahislkan matriks T yang paling sederhana, sehingga kita mencari suatu cara untuk mengubah basis tersebut supaya menyederhanakan matriksnya. Untuk memecahkan masalah seperti ini, maka kita harus mengetahui bagaimana perubahan basis akan mempengaruhi matriks operator lain.

Teorema 8 Misalkan T:V→V adalah operator linear pada ruang vektor V berdimensi berhingga. Jika A adalah matriks T terhadap basis B, dan A adalah matriks T terhadap basis B, maka:                                          A’=P -1AP                                                                (5.20) di mana P adalah matriks transisi dari B’ ke B

Teorema berikut akan menjelaskan hasil ini.

Bukti:

Untuk membuktikan teorema ini, maka akan memudahkan untuk menjelaskan hubungan Au = v

kita dapatkan menuliskannya dalam bentuk gambar

u

v

A

 

Karena A adalah matriks T terhadap B, dan A’ adalah matriks T terhadap B’, maka hubungan berikut berlaku untuk semua x dalam V.

dan

A

Ini dapat dituliskan sebagai

dan                                                                                                           (5.21)

A’

                                                                    

Untuk melihat bagaimana matriks A dihubungkan dengan A’, maka misalkan P adalah matriks transisi dari basis B’ ke B, sehingga P ^-1 adalah matriks transisi dari B ke B’. Jadi,

dan

P

yang dapat dituliskan sebagai

                      

P -1

dan                                                                                                           (5.22)

                      

Untuk mendapatkannya, maka hubungan (5.21) dan (5.22) dapat dikaitkan bersama-sama dalam sebuah gambar sebagai berikut:

A

 

                                       [x]_B                            [T(x)]_B

                                       P                                      P ^-1

A’

 

                                        [x]_B’                            [T(x)]_B’

                                                    Gambar 2

Gambar ini melukiskan bahwa ada dua cara untuk mendapatkan matriks  dan matriks . Kita dapat mengambil jalan bawah menyeberang gambar, yakni

                                                                                            (5.23)            

atau kita dapat menaiki sisi kiri, menyeberang atas, dan menuruni sisi kanan, yakni

                                                                                    (5.24)

Jelaslah dari (5.23) dan (5.24) bahwa

                                                                                      (5.25)

untuk semua x pada V. Jelaslah dari (5.25) dan bagian (b) dari Latihan 11 bahwa

Ini membuktikan teorema 8.  ■

Peringatan:

Bila anda menerapkan teorema 6, maka hal yang

mengingat apakah P adalah matriks transisi dari B ke B’ (takbetul) atau dari B’ ke B (betul). Mungkin akan menolong bila kita namakan B sebagai basis lama, B’ basis baru, A matriks lama, dan A’ matriks baru. Karena P adalah transisi dari B’ ke B, maka P ^-1 adalah matriks transisi dari B ke B’. Jadi (5.20) dapat dinyatakan sebagai:

matriks baru = P ^-1 (matriks lama) P

dimana P adalah matriks transisi dari basis baru ke basis lama.

Untuk lebih menotasikan cara tersebut agar mengingat rumus ini, kita dapat menggambarkan notasi  dan yang diperkenalkan pada bagian akhir. Dengan notasi ini (5.20) dapat dinyatakan sebagai berikut:

 

                                                                 

Contoh 8:

Misalkan  didefenisikan oleh

Carilah matriks baku untuk T, yakni matriks T relatif terhadap basis , dimana

dan kemudian gunakanlah Teorema 8 untuk mentransformasikan matriks ini ke dalam matriks T relatif terhadap basis  , dimana

    dan   

Penyelesaian:

Dalam bagian (a) dari Contoh 4, kita cari matriks T relatif terhadap basis baku B menjadi

Selanjutnya kita memerlukan matriks transisi dari B’ ke B. Untuk matriks transisi ini kita memerlukan matriks koordinat untuk vektor-vektor basis B’ yang relatif terhadap basis B. Dengan pemeriksaan,

sehingga

    dan   

Jadi, matriks transisi dari B’ ke B adalah

Anda dapat memeriksa bahwa

sehingga menurut Teorema 8 matriks T relatif terhadap basis B’ adalah

Hal ini sesuai dengan hasil yang diperoleh dalam bagian (b) dari Contoh 4.

Contoh ini melukiskan bahwa basis baku untuk ruang vektor tidak perlu menghasilkan matriks yang paling sederhana untuk sebuah operator linear, kita lihat bahwa matriks baku adalah

mempunyai struktur yang tidak sesederhana matriks

                                                                                              (5.26)

relatif terhadap basis B’. Matriks (5.26) adalah sebuah contoh matriks diagonal, yakni matriks kuadrat yang semua entri takdiagonalnya sama dengan nol. Matriks diagonal mempunyai banyak sifat yang diinginkan. Misalnya pangkat ke-k dari matriks diagonal

adalah

Jadi, untuk menaikkan matriks diagonal hingga pangkat ke-k, maka kita hanya perlu menaikkan setiap entri diagonal sampai pangkat ke-k. Untuk matriks takdiagonal maka lebih banyak lagi perhitungan yang terlibat untuk mendapatkan pangkat ke-k. Matriks diagonal juga mempunyai sifat lain yang berguna.

Pada bab selanjutnya kita bahas permasalahan untuk mencari basis yang menghasilkan matriks diagonal untuk operator linear.

Teorema 8 memotivasi definisi berikut.

Definisi: Jika A dan B adalah matriks kuadrat maka kita sebut bahwa B sama dengan A jika terdapat matriks P yang dapat dibalik sehingga B = P-1AP

 

Perhatikan bahwa persamaan B = P^-1AP dapat dituliskan kembali sebagai

A = BPP^-1    dan    A = (P^-1)^-1BP^-1

Dengan memisalkan Q = P^-1 maka akan menghasilkan

A =Q^-1BQ

yang menyatakan bahwa A serupa dengan B. Maka, B serupa dengan A jika dan hanya jika A serupa dengan B, akibatnya, kita biasanya akan mengatakan saja bahwa A dan B serupa.

Dalam terminologi ini, Teorema 8 membuktikan bahwa dua matriks yang diberikan sama dengan operator linear T : V→V  yang bertalian dengan basis yang berlainan adalah serupa.